Ο καθηγητής μου Ennio De Giorgi

 

Σχέση φιλοσοφίας  - Μαθηματικών

 

 

<<Όταν σπούδαζα μηχανικός, είχα τη  τύχη να παρακολουθώ το πρόγραμμα σπουδών του συγκεκριμένου Πανεπιστημίου που έκανε  τη διδασκαλεία και τις εξετάσεις των μαθηματικών, κοινές τόσο για τους φυσικο - μαθηματικούς όσο και για τους μηχανικούς.  Ακόμη είχα την μεγάλη τύχη να είμαι φοιτητής ενός μεγάλου μαθηματικού  του 20 ου αιώνα ο οποίος μάλιστα τα ακαδημαϊκά έτη 1957-1958 και 1959-1960 που  μου έκανε απειροστικό και διαφορικό λογισμό,  έλυσε το 19 0  πρόβλημα ( από τα 23 ) του Hilbert που παρέμενε άλυτο για μισό και πλέον αιώνα. Στον καθηγητή μου αυτόν, τον αείμνηστο μεγάλο δάσκαλο των μαθηματικών Ennio De Giorgi αφιερώνω το δημοσίευμα αυτό γιατί μου δίδαξε τα μαθηματικά και τη  φιλοσοφική σκέψη πάνω στα μαθηματικά. >>

 

Λέγεται ότι στο υπέρθυρο  του κτιρίου της Σχολής που δημιούργησε ο Πλάτωνας στην Αθήνα το 387 π.Χ  υπήρχε η επιγραφή : « Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω μου την στέγην » , δηλαδή σε κανένα που δεν γνωρίζει γεωμετρία ( μαθηματικά ) δεν επιτρέπεται να φοιτήσει στην Ακαδημία. Για τον φιλόσοφο Πλάτωνα αυτό είχε μια βαθύτερη σημασία, ότι δηλαδή οι φιλόσοφοι ήταν η άρχουσα τάξη, όχι μόνο οι σκεπτόμενοι αλλά και οι κρατικοί παράγοντες. Επομένως η σχέση μαθηματικών και φιλοσοφίας είναι πολύ παλιά και πολύ βαθειά. Σε όλες τις εποχές της κουλτούρας και της μάθησης υπήρξαν φιλόσοφοι-μαθηματικοί και μαθηματικοί - φιλόσοφοι. Η φράση << ένας αδύνατος μαθηματικός δεν θα γίνει ποτέ ένας δυνατός φιλόσοφος >> ανήκει στον Τσεχοσλοβάκο μαθηματικό, φιλόσοφο και θεολόγο Bernard Bolzano. Ο δέκατος έκτος αιώνας είναι ο αιώνας του απειροστικού λογισμού και υποδηλώνει μια σαφή φιλοσοφική  σκέψη : την αποδοχή ή την απόρριψη του σημερινού απείρου. Μεταξύ φιλοσοφίας και μαθηματικών υπάρχει μια αμοιβαία σχέση που αναφέρεται σε ορισμένα προβλήματα, όχι σε όλα, γιατί σίγουρα υπάρχει μια φιλοσοφία που δεν είναι μαθηματική, αλλά ερμηνεύει την ιστορία, διερευνά τις ανθρώπινες σχέσεις , και μελετά το έργο και την πρόβλεψη νέων κοινωνιών. Αντιστρέφοντας τον παραπάνω ισχυρισμό του Bolzano, μπορούμε επίσης να πούμε ότι ένας αδύνατος φιλόσοφος δεν θα γίνει ποτέ ένας δυνατός μαθηματικός. 

Secondo l'Idealismo Platonico, le Entita matematiche esistono indipendentemente dalla mente umana. Σύμφωνα με τον πλατωνικό ιδεαλισμό, oi μαθηματικές οντότητες υπάρχουν ανεξάρτητα από το ανθρώπινο μυαλό. In effetti noi non inventiamo le relazioni matematiche, ma le “scopriamo”: esse esistono da sempre e certamente esistono da prima che noi ne prendiamo coscienza. Στην πραγματικότητα  εμείς δεν  εφευρίσκομε τις   μαθηματικές σχέσεις, αλλά τις  « ανακαλύπτομε » : αυτές υπάρχουν ανέκαθεν  και σίγουρα υπάρχουν   πριν να τις έχουμε  συνειδητοποιήσει.
Tutto l'Universo obbedisce a rigorose leggi matematiche, ma queste leggi esistono indipendentemente dall'esistenza dell'Universo. Ολόκληρο το Σύμπαν υπακούει σε αυστηρούς μαθηματικούς νόμους, αλλά αυτοί οι νόμοι  υπήρχαν, υπάρχουν και θα υπάρχουν, ανεξάρτητα από την ύπαρξη του Σύμπαντος και του ανθρώπου.  
I concetti di punto, retta, piano, circonferenza, sfera etc… si riferiscono ad Entita che non esistono nel mondo fisico, eppure ognuno di noi li possiede nella mente come idee innate: gli oggetti che osserviamo partecipano in misura minore o maggiore a questi concetti e fanno nascere in noi il “ricordo” dell'Idea originaria. Οι έννοιες του σημείου, της  γραμμής, του επιπέδου, της περιφέρειας του κύκλου, της σφαίρας  κλπ.  αναφέρονται σε οντότητες  οι οποίες δεν υπάρχουν στον φυσικό κόσμο, και όμως ο καθένας από εμάς  τις έχει στο μυαλό του ως έμφυτες ιδέες:  τα αντικείμενα που παρατηρούμε συμμετέχουν σε μεγαλύτερο ή μικρότερο βαθμό, σ’ αυτές τις έννοιες  με αποτέλεσμα να γεννούν και να δημιουργούν μέσα μας  « την ανάμνηση » της αρχικής ιδέας. Diceva Platone: “la Conoscenza e Reminiscenza”. Ο Πλάτων είπε: «Η γνώση είναι ανάμνηση».
Facciamo una semplice riflessione: il Teorema di Pitagora afferma che, dato un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'ipotenusa e uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. Ας κάνουμε ένα απλό στοχασμό : το Πυθαγόρειο Θεώρημα ορίζει ότι, σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, ο τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών.
Λοιπόν, όταν εγώ δεν θα υπάρχω πια, όταν ο πλανήτης Γη δεν θα υπάρχει πια, όταν το ηλιακό μας σύστημα δεν θα υπάρχει πια, όταν ο Γαλαξίας μας δεν θα υπάρχει πια, όταν το Σύμπαν δεν θα υπάρχει πια, το Πυθαγόρειο θεώρημα θα συνεχίζει να υπάρχει ως  μια αμετάβλητη αιώνια αλήθεια.    

Τα θεωρήματα συχνά είναι θεωρητικά αποτελέσματα. Όταν χρησιμοποιούνται σε προβλήματα της φυσικής ή σε εφαρμογές, τα περιορίζομε στα όριά τους και δεν τα επεκτείνομε για να χρησιμοποιηθούν σε καταστάσεις που μας εξυπηρετούν. Υπάρχει ένα περίφημο θεώρημα του Poiancare’ κατά το οποίο αποδεικνύεται ότι ένα ξεφουσκωμένο  λάστιχο αυτοκινήτου θα φουσκώσει μόνο του ύστερα από ένα χρονικό διάστημα αρκετά μεγάλο. Ποιος είναι όμως εκείνος ο οδηγός που θα περιμένει το έκτακτο αυτό αποτέλεσμα ; Θα έπρεπε να περιμένει αιώνες.

Ebbene, quando io non esistero piu, quando il pianeta Terra non esistera piu, quando il Sistema Solare non esistera piu, quando la nostra Galassia non esistera piu, quando questo Universo non esistera piu, il Teorema di Pitagora restera sempre una Verita eterna ed immutabile. Per Pitagora e la sua scuola, i numeri interi erano idee eternΓια τον Πυθαγόρα  και τη σχολή του, οι ακέραιοι αριθμοί  ήταν αιώνιες ιδέες. Tutto cio che esiste puo essere ridotto a numero, quindi il Principio Metafisico, l'Arche, non era unico, come per i suoi predecessori, ma formato da una miriade di principi, appunto i numeri. Ό, τι υπάρχει μπορεί να αχθεί  σε αριθμό, επομένως  η μεταφυσική  Αρχή , δεν ήταν  μοναδική, όπως για τους προκατόχους του, αλλά σχηματίζεται από μια μυριάδα αξιών, δηλαδή τους αριθμούς.
Galileo Galilei asseriva che il libro della Natura e scritto con caratteri diversi dal nostro alfabeto: questo libro e scritto in caratteri matematici e, prima di poter leggere questo libro, bisogna conoscere l'alfabeto matematico. Ο Γαλιλαίος  ισχυριζόταν  ότι το βιβλίο της φύσης είναι γραμμένο με διαφορετικούς χαρακτήρες από το συνηθισμένο αλφάβητο , το βιβλίο αυτό είναι γραμμένο με μαθηματικούς χαρακτήρες, και πριν από την ανάγνωσή του ,  πρέπει να ξέρουμε το μαθηματικό αλφάβητο.
Da allora la Fisica ha fatto tanti passi avanti e tutti i fenomeni fisici sono stati descritti in termini matematici. Από τότε, η φυσική έκανε πολλά βήματα μπροστά και όλα τα φυσικά φαινόμενα περιγράφονται με μαθηματικούς όρους.  
Ora che la fisica si sta spingendo nella descrizione di oggetti e fenomeni fuori dalla portata dei nostri sensi, e, con l'introduzione della Meccanica Quantistica, ha iniziato ad indagare sull'intima essenza della Materia, risulta sempre piu evidente che l'unica descrizione possibile e quella matematica. Τώρα που η φυσική προχώρησε  στην περιγραφή των αντικειμένων και των φαινομένων πέρα από την προσιτότητα των αισθήσεών μας και, με την εισαγωγή της κβαντικής μηχανικής, άρχισε να ερευνάται  η εσώτατη ουσία της ύλης , γίνεται  ολοένα και πιο σαφές ότι η μόνη   εφικτή περιγραφή  είναι εκείνη με τα μαθηματικά.
Καμιά όψη του εμπειρικού κόσμου μας, τόσο θεωρώντας τον  πραγματικό, όσο αν τον θεωρούμε απατηλό, δεν ξεφεύγει από  την μαθηματική περιγραφή ακόμη και οι αναλογίες του σώματός μας. Θα αναφέρω τρία παραδείγματα :

1). Το μήκος του χεριού μας από την άκρη των δακτύλων μας  μέχρι τον ώμο το χωρίζει σε δύο κομμάτια ο αγκώνας : το ΑΒ που είναι το κομμάτι από την άκρη των δακτύλων μας μέχρι τον αγκώνα, και το ΒΓ που είναι το κομμάτι από τον αγκώνα μέχρι τον ώμο.  ΑΓ  είναι ολόκληρο το χέρι ( από ην άκρη των δακτύλων μας μέχρι τον ώμο).  Αν μετρήσομε αυτά τα κομμάτια του χεριού μας αλλά και ολόκληρο το χέρι μας θα δούμε ότι ισχύει  μεταξύ των  η μαθηματική σχέση  ΑΓ / ΑΒ = ΑΒ / ΒΓ  που ισούται πάντοτε  με τον χρυσό αριθμό 1,618 περίπου, που είναι η χρυσή τομή του μήκους του χεριού μας. Η παραπάνω αναλογία συμβολίζεται διεθνώς με το ελληνικό γράμμα « φ » που είναι το αρχικό γράμμα του ονόματος του γλύπτη της αρχαιότητας Φειδία ο οποίος χρησιμοποιούσε συχνά τη χρυσή τομή στα έργα του.. Η παραπάνω αναλογία υπάρχει από τότε που ο Θεός έπλασε τον άνθρωπο, όμως έπρεπε νε περάσουν εκατομμύρια χρόνια για να ανακαλύψουμε την μαθηματική αυτή σχέση.

2). Αν πετάξομε με το χέρι μας μια πέτρα στον αέρα, και αν έκανε το ίδιο ο Αδάμ ή η Εύα,  με το μήλο που της πρόσφερε ο διάβολος, η πέτρα και το μήλο θα πέσουν στη Γη διαγράφοντας μια παραβολική τροχιά. Επομένως εμείς οι άνθρωποι δεν εφεύραμε την καμπύλη εκείνη που λέγεται παραβολή, αυτή η καμπύλη υπήρχε ανέκαθεν και  ανακαλύψαμε  την εξίσωσή της ( x2 = 2py)   και τον γεωμετρικό τρόπο χάραξής της  εκατομμύρια χρόνια μετά. 

3). Αμέσως μετά το Big Bang, με τη δημιουργία  των ουρανίων σωμάτων παρουσιάστηκε το σχήμα της έλλειψης που είναι η τροχιά που διαγράφει το κάθε ουράνιο σώμα γύρω από τον Ήλιο του.

Όμως η εξίσωση της έλλειψης ( x2 /α2 + y2 /β2 = 1 ) ανακαλύφτηκε εκατομμύρια χρόνια μετά. Όλη η συμπεριφορά του Σύμπαντος διέπεται, από της γεννήσεώς του, από αυστηρούς Μαθηματικούς νόμους  τους οποίους εμείς οι άνθρωποι τους ανακαλύψαμε εκατομμύρια χρόνια αργότερα.

Έλεγε ο Leibniz :  << Αν στη τύχη σημειώσομε πάνω σε ένα φύλλο χαρτί  διάφορα σημεία, μπορούμε πάντοτε να δημιουργήσομε  μια μαθηματική εξίσωση τέτοια που να απεικονίζει εκείνο που κάναμε >> . 

Nessun aspetto del nostro mondo empirico, sia che lo si giudichi reale, sia che lo si giudichi illusorio, sfugge alla descrizione matematica.Non e un caso che tanti grandi filosofi siano stati contemporaneamente grandi matematici: il filosofo indaga sulla natura intima della realta e, nella sua indagine, si imbatte inevitabilmente nella constatazione che, al di la della precarieta del mondo sensibile, al di la delle rappresentazioni illusorie della nostra mente, al di la dell'inganno dei sensi, vi e una sola costante reale, la Legge Matematica.Δεν είναι σύμπτωση το γεγονός ότι  πολλοί μεγάλοι φιλόσοφοι ήταν συγχρόνως  και μεγάλοι μαθηματικοί. Ο φιλόσοφος ερευνά την ενδότατη φύση της πραγματικότητας και, στην έρευνά της αναπόφευκτα έρχεται αντιμέτωπος με το γεγονός ότι, πέρα από την αβεβαιότητα του αισθητού κόσμου, πέρα από τις απατηλές παραστάσεις  του μυαλού μας, πέρα από την εξαπάτηση των αισθήσεων, υπάρχει μόνο μία πραγματική σταθερά, ο νόμος των Μαθηματικών.
Il numero inteso come idea eterna non va confuso col numero usato per contare. Ο αριθμός εννοούμενος   ως αιώνια ιδέα δεν πρέπει να συγχέεται με τον αριθμό που χρησιμοποιούμε για να μετράμε χρήματα ή γεωμετρικά μεγέθη. Κοιτάζω μια ομάδα αλόγων ,Guardo un gruppo di cavalli, tutti diversi tra loro, li conto e vedo che sono ,, όλα είναι διαφορετικά μεταξύ τους, τα μετρώ  και βλέπω ότι είναι οκτώ . Faccio lo stesso con un gruppo di sette pecore e con un gruppo di sette cani.Κάνω  το ίδιο με μια ομάδα από οκτώ πρόβατα και με μια ομάδα από οκτώ κουνέλια.    Μέτρησα λοιπόν τα μέλη των τριών ομάδων , αλλά δεν μπορώ να μην  θεωρήσω ότι αυτές οι τρεις ομάδες όντων, τόσο διαφορετικά μεταξύ των, ότι ανήκουν στην ίδια αφηρημένη έννοια :  η ιδέα του οκτώ που δεν  έχει καμιά σχέση με άλογα, πρόβατα και κουνέλια .
Concludendo, potremmo sintetizzare tutta questa breve nota dicendo semplicemente che “2 + 2 = 4 anche senza che io lo pensi”. Συμπερασματικά, μπορούμε να συνοψίσουμε όλο αυτό το σύντομο σημείωμα λέγοντας  απλώς ότι : 2 +2 = 4 και χωρίς να το σκέφτομαι και με τη γενικότερη έννοιά του.

Έλεγε ο αείμνηστος καθηγητής μου :

Στην αρχή και στο τέλος, έχομε το μυστήριο. Μπορούμε να πούμε ότι έχομε το σχέδιο του Θεού. Σ ’αυτό το μυστήριο τα μαθηματικά μας πλησιάζουν, αλλά στο μυστήριο δεν μπορούμε να εισχωρήσομε. 

Βασίλης Χατζηγιάννης

Dr. Μηχανολόγος - Ηλεκτρολόγος Μηχανικός

Ομότιμος καθηγητής ΑΤΕΙ

vashatzi@hotmai.com                                                                                                   επιστροφή στα περιεχόμενα της Φουρνής

                                                                                                         Home